Aufgabe 1

Rechenoperationen

Für zwei ganze Zahlen a, b mit a < 0 und b < 0 gilt: b = 2 ∙ a.

Aufgabenstellung:

Welche der nachstehenden Berechnungen haben stets eine natürliche Zahl als Ergebnis? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Berechnungen an!

Aufgabe 2

Anhalteweg

Schülerinnen und Schüler einer Fahrschule lernen die nachstehende Formel für die näherungsweise Berechnung des Anhaltewegs s. Dabei ist v die Geschwindigkeit des Fahrzeugs (s in m, v in km/h).

$s= \frac{v}{10}·3 + (\frac{v}{10})^2$

Bei „Fahren auf Sicht“ muss man jederzeit die Geschwindigkeit so wählen, dass man innerhalb der Sichtweite anhalten kann. „Sichtweite“ bezeichnet dabei die Länge des Streckenabschnitts, den man sehen kann.

Aufgabenstellung:

Berechnen Sie die maximal zulässige Geschwindigkeit gerundet auf eine Kommastelle bei einer Sichtweite von 25m!

Aufgabe 3

Ungleichungen lösen

Gegeben sind zwei lineare Ungleichungen.

$I: 7·x+67>-17$

$II: -25-4x>7$

Aufgabenstellung:

Gesucht sind alle reellen Zahlen $x$, die beide Ungleichungen erfüllen.

Geben Sie die Menge dieser Zahlen als Intervall an!

Aufgabe 4

Eckpunkte eines Quaders

In der nachstehenden Abbildung ist ein Quader dargestellt. Die Eckpunkte A, B, C und E sind beschriftet.

Aufgabenstellung:

Für weitere Eckpunkte R, S und T des Quaders gilt:

$R = E  + \overrightarrow{AB}$

$S = A  + \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{BC}$

$T = E  + \overrightarrow{BC} – \overrightarrow{AE}$

Tragen Sie die korrekten Buchstaben für jede Ecke ein!

Aufgabe 5

Parameterdarstellung einer Geraden

In der nachstehenden Abbildung ist eine Gerade g dargestellt. Die gekennzeichneten Punkte der Geraden g haben ganzzahlige Koordinaten.

Aufgabenstellung:

Vervollständigen Sie folgende Parameterdarstellung der Geraden g durch Angabe der Werte für a und b mit a, b ∈ ℝ!

$g: X= \binom{a}{3} + t· \binom{3}{b} \hspace{0.1cm}$ mit $\hspace{0.1cm} t \in \mathbb{R}$

Dreieck

Gegeben ist nachstehendes Dreieck mit den Seitenlängen r, s und t.

Aufgabenstellung:

Berechnen Sie das Verhältnis $\hspace{0.1cm} \frac{r}{t} \hspace{0.1cm}$ für dieses Dreieck!

Funktionen zuordnen

Gegeben ist die Formel $\hspace{0.1cm} F=\frac{a^2·b}{c^n}+d \hspace{0.1cm}$ mit $\hspace{0.1cm} a, b, c, d \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N} \hspace{0.1cm}  $ und $\hspace{0.1cm} c \ne 0, n \ne 0 \hspace{0.1cm} $.

Nimmt man an, dass eine der Größen a, b, c, d oder n variabel ist und die anderen Größen konstant sind, so kann F als Funktion in Abhängigkeit von der variablen Größe interpretiert werden.

Aufgabenstellung:

Welche der unten angegebenen Zuordnungen beschreiben (mit geeignetem Definitions- und Wertebereich) eine lineare Funktion?

Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Zuordnungen an!

Arbeitslosenrate

Ein Politiker, der die erfolgreiche Arbeitsmarktpolitik einer Regierungspartei hervorheben möchte, sagt: „Die Zunahme der Arbeitslosenrate verringerte sich während des ganzen Jahres.“

Ein Politiker der Opposition sagt darauf:„Die Arbeitslosenrate ist während des ganzen Jahres gestiegen.“

Aufgabenstellung:

Die Entwicklung der Arbeitslosenrate während dieses Jahres kann durch eine Funktion f in Abhängigkeit von der Zeit modelliert werden.

Welcher der nachstehenden Graphen stellt die Entwicklung der Arbeitslosenrate während dieses Jahres dar, wenn die Aussagen beider Politiker zutreffen?

Kreuzen Sie den zutreffenden Graphen an!

Wasserbehälter

In einem quaderförmigen Wasserbehälter steht eine Flüssigkeit 40cm hoch. Diese Flüssigkeit fließt ab dem Öffnen des Ablaufs in 8 Minuten vollständig ab.

Eine lineare Funktion h mit h(t)=k·t+d beschreibt für t∈[0;8] die Höhe (in cm) des Flüssigkeitspegels im Wasserbehälter t Minuten ab dem Öffnen des Ablaufs.

Aufgabenstellung:

Bestimmen Sie die Werte k und d!

Aufgabe 10

Verlauf einer Polynomfunktion vierten Grades

Es gibt Polynomfunktionen vierten Grades, die genau drei Nullstellen $\, x_1, x_2 \,$ und $\, x_3 \,$ mit den reellen Zahlen $\, x_1, x_2, x_3 \,$ und$\, x_1 < x_2 < x_3 \,$  haben.

Aufgabenstellung:

Skizzieren Sie im nachstehenden Koordinatensystem im Intervall [–4; 4] den Verlauf des Graphen einer solchen Funktion f mit allen drei Nullstellen im Intervall [–3; 3]!

Hinweis zur Eingabe: Zeichne den Graphen auf ein Blatt Papier mit einem Koordinatensystem wie dem untenstehenden, mache dann ein Foto davon lade es hoch. Wenn die Korrektur abgeschlossen ist, erhältst du für eine richtige Antwort einen zusätzlichen Punkt gutgeschrieben.

Aufgabe 11

Wirkstoff

Die Abnahme der Menge des Wirkstoff seines Medikaments im Blut lässt sich durch eine Exponentialfunktion modellieren.

Nach einer Stunde sind 10 % der Anfangsmenge des Wirkstoffs abgebaut worden.

Aufgabenstellung:

Berechnen Sie, welcher Prozentsatz der Anfangsmenge des Wirkstoffs nach insgesamt vier Stunden noch im Blut vorhanden ist! Geben Sie das Ergebnis auf zwei Kommastellen gerundet an.

Aufgabe 12

Graphen zweier Winkelfunktionen

Die nachstehende Abbildung zeigt die Graphen der Funktionen $\hspace{0.1cm} f_1: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \hspace{0.1cm}$ und $\hspace{0.1cm} f_2: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \hspace{0.1cm}$ mit $\hspace{0.1cm} f_1(x)= a_1 · sin(b_1 ·x) \hspace{0.1cm}$ sowie $\hspace{0.1cm} f_2(x)= a_2 · sin(b_2 ·x) \hspace{0.1cm}$ mit $\hspace{0.1cm} a_1, a_2, b_1, b_2 >0$.

Aufgabenstellung:

Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Eingabe einer der Buchstaben A, B oder C in beide Antwortfelder, sodass der Satz eine korrekte Aussage ergibt!

Kriminalstatistik 2010 – 2011

Die nachstehende Tabelle gibt an, wie viele Kriminalfälle in jedem Bundesland in Österreich in den Jahren 2010 und 2011 angezeigt wurden.

Aufgabenstellung:

Geben Sie für das Burgenland die relative Änderung der angezeigten Kriminalfälle im Jahr 2011 im Vergleich zum Jahr 2010 in Prozent gerundet auf eine Nachkommastelle an!

Aufgabe 14

Kapitalwachstum

Ein Kapital von € 100.000 wird mit einem fixen jährlichen Zinssatz angelegt. Die nachstehende Tabelle gibt Auskunft über den Verlauf des Kapitals in den ersten drei Jahren. Dabei beschreibt $\hspace{0.1cm} x_n \hspace{0.1cm}$ das Kapital nach n Jahren (n ∈ ℕ).

Aufgabenstellung:

Bestimmen Sie die Indizes $\hspace{0.1cm} a \hspace{0.1cm}$ und $\hspace{0.1cm} b \hspace{0.1cm}$ bzw. den Wert q, sodass die Gleichung $\hspace{0.1cm} x_{a}=x_{b}·{q} \hspace{0.1cm}$ die Berechnung des Kapitals $\hspace{0.1cm} x_{n+1} \hspace{0.1cm}$ aus dem Kapital $\hspace{0.1cm} x_n \hspace{0.1cm}$ angibt!

Werte einer Ableitungsfunktion

Gegeben ist die Funktion f: ℝ → ℝ mit $\hspace{0.1cm} f(x) = 3 · e^x $ .

Aufgabenstellung:

Die nachstehenden Aussagen beziehen sich auf Eigenschaften der Funktion f bzw. deren Ableitungsfunktion f′.

Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!

Stammfunktion

Gegeben ist eine Funktion f: ℝ → ℝ mit $\hspace{0.1cm} f(x) = a · x_3 \hspace{0.1cm}$ mit a ∈ ℝ.

Aufgabenstellung:

Bestimmen Sie a so, dass die Funktion F: ℝ → ℝ mit $\hspace{0.1cm} F(x) = 5 · x^4 – 2 \hspace{0.1cm}$ eine Stammfunktion von f ist!

Polynomfunktion

In der nachstehenden Abbildung ist der Graph einer Polynomfunktion f : ℝ → ℝ vom Grad 3 im Intervall [–1; 7] dargestellt. Alle lokalen Extremstellen sowie die Wendestelle von f im Intervall [–1; 7] sind ganzzahlig und können aus der Abbildung abgelesen werden.

Kreuzen Sie die beiden auf die Funktion f zutreffenden Aussagen an!

Aufgabe 18

Flächeninhalte

Die unten stehende Abbildung zeigt den Graphen der Funktion f : ℝ → ℝ und zwei markierte Flächenstücke. Der Graph der Funktion f, die x-Achse und die Gerade g mit der Gleichung x = a schließen das Flächenstück I mit dem Inhalt $\hspace{0.1cm} A_1 \hspace{0.1cm}$ ein. Der Graph der Funktion f, die x-Achse und die Gerade h mit der Gleichung x = b schließen das Flächenstück II mit dem Inhalt $\hspace{0.1cm} A_2 \hspace{0.1cm}$ ein.

Aufgabenstellung:

Geben Sie das bestimmte Integral $\hspace{0.1cm} \int_a^b f(x) dx \hspace{0.1cm}$ mithilfe der Flächeninhalte $\hspace{0.1cm} A_1 \hspace{0.1cm}$ und $\hspace{0.1cm} A_2 \hspace{0.1cm}$ an!

Freizeitverhalten von Jugendlichen

Es wurden 400 Jugendliche zu ihrem Freizeitverhalten befragt. Von allen Befragten gaben 330 an, Mitglied in einem Sportverein zu sein, 146 gaben an, ein Instrument zu spielen, und 98 gaben an, sowohl Mitglied in einem Sportverein zu sein als auch ein Instrument zu spielen. Das Ergebnis dieser Befragung ist in der nachstehenden Tabelle eingetragen.

Aufgabenstellung:

Geben Sie die relative Häufigkeit h der befragten Jugendlichen in Prozent an, die weder Mitglied in einem Sportverein sind noch ein Instrument spielen!

Lawinengefahr

In den Wintermonaten wird täglich vom Lawinenwarndienst der sogenannte Lawinenlagebericht veröffentlicht. Dieser enthält unter anderem eine Einschätzung der Lawinengefahr entsprechend den fünf Gefahrenstufen. In einer bestimmten Region wurden im Winter 2013/14 Aufzeichnungen über die Gefahrenstufen geführt. Die Aufzeichnungen listen in einer Datenliste alle Tage auf, an denen eine der Gefahrenstufen 1 bis 4 galt. (Für die Gefahrenstufe 5 gibt es in dieser Datenliste keinen Eintrag, da diese Gefahrenstufe im betrachteten Zeitraum nicht auftrat.) Die nachstehende Abbildung zeigt den relativen Anteil der Tage mit einer entsprechenden Gefahrenstufe.

Aufgabenstellung:

Bestimmen Sie den Median der Datenliste!

Aufgabe 21

Spielwürfel

Bei einem Spiel kommt ein Würfel mit den Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 zum Einsatz. Der Würfel wird dreimal geworfen. Für jeden Wurf gilt: Jede der Augenzahlen tritt mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auf wie jede der anderen Augenzahlen.

Aufgabenstellung:

Geben Sie die Wahrscheinlichkeit p dafür an, dass man beim dritten Wurf eine durch 3 teilbare Augenzahl würfelt!

Häufigkeit von Nebenwirkungen

Pharmaunternehmen sind verpflichtet, alle bekannt gewordenen Nebenwirkungen eines Medikaments im Beipackzettel anzugeben. Die Häufigkeitsangaben zu Nebenwirkungen basieren auf folgenden Kategorien:

Eine bestimmte Nebenwirkung ist im Beipackzettel eines Medikaments mit der Häufigkeitsangabe „selten“ kategorisiert. Es werden 50 000 Personen unabhängig voneinander mit diesem Medikament behandelt. Bei einer gewissen Anzahl dieser Personen tritt diese Nebenwirkung auf.

Aufgabenstellung:

Verwenden Sie die obigen Häufigkeitsangaben als Wahrscheinlichkeiten und bestimmen Sie unter dieser Voraussetzung, wie groß die erwartete Anzahl an von dieser Nebenwirkung betroffenen Personen mindestens ist!

Trefferwahrscheinlichkeit

Bei einem Training wirft eine Basketballspielerin einen Ball sechsmal hintereinander zum Korb. Fällt der Ball in den Korb, spricht man von einem Treffer. Die Trefferwahrscheinlichkeit dieser Spielerin beträgt bei jedem Wurf 0,85 (unabhängig von den anderen Würfen).

Aufgabenstellung:

Ordnen Sie den vier Ereignissen jeweils denjenigen Term (aus A bis F) zu, der die Wahrscheinlichkeit des Eintretens dieses Ereignisses beschreibt!

Konfidenzintervall

Jemand möchte den unbekannten Anteil p derjenigen Wählerinnen und Wähler ermitteln, die bei einer Wahl für den Kandidaten A stimmen werden, und beauftragt ein Meinungsforschungsinstitut damit, diesen Anteil p zu schätzen. Im Zuge dieser Schätzung werden 200 Stichproben mit jeweils gleichem Umfang ermittelt. Für jede dieser Stichproben wird das entsprechende 95-%-Konfidenzintervall berechnet.

Aufgabenstellung:

Berechnen Sie die erwartete Anzahl derjenigen Intervalle, die den unbekannten Anteil p enthalten!